2.4 평행선과 넓이 · 사각형의 성질

HOOK

모양은 달라도 넓이는 같다

When two parallel lines control the heights, the area stays — no matter how the shape changes.

두 평행한 직선 사이의 거리는 어디서나 일정합니다. 이 단순한 사실이 도형의 넓이에 놀라운 결과를 가져옵니다.

삼각형의 넓이 $= \dfrac{1}{2} \times$ 밑변 $\times$ 높이. 따라서 밑변이 같고 높이도 같은 두 삼각형은 모양이 달라도 넓이가 같다는 결과가 따라옵니다.

이 원리를 이용하면 도형의 모양을 자유롭게 바꾸면서도 넓이를 보존할 수 있습니다 — 이것이 등적변형의 원리. 사각형을 같은 넓이의 삼각형으로 바꾸기, 복잡한 도형을 단순화하기 등 강력한 응용을 가집니다.

$\ell \parallel m$일 때 같은 밑변·같은 높이

CORE CONCEPT

평행선과 넓이의 두 가지 정리

Two theorems that capture how parallels preserve area.

THEOREM 1 · 평행선 사이의 거리

평행선 사이의 거리는 일정하다

두 직선 $\ell$, $m$이 평행할 때, 직선 $\ell$ 위의 어떤 점에서 직선 $m$까지의 거리(수선의 길이)도, 직선 $m$ 위의 어떤 점에서 $\ell$까지의 거리도 — 모두 같다. 이 공통 거리를 두 평행선 사이의 거리라 합니다.

$\ell \parallel m$ ⟹ (두 직선 사이의 거리) = 일정
The distance between two parallel lines is constant.

THEOREM 2 · 같은 밑변·같은 높이

밑변이 같고 평행선 위에 꼭짓점이 있으면 넓이가 같다

$\overline{BC}$를 공통 밑변으로 하는 두 삼각형 $\triangle ABC$, $\triangle DBC$가 있다. 두 꼭짓점 $A, D$가 직선 $\overline{BC}$와 평행한 한 직선 위에 있다면, 두 삼각형은 같은 높이를 가지므로 넓이가 같다.

$\ell \parallel \overline{BC}$이고 $A, D \in \ell$ ⟹ $\triangle ABC = \triangle DBC$
Same base, same height → same area.

공통 밑변 $\overline{BC}$, 꼭짓점 $A, D$가 같은 평행선 $\ell$ 위 → $\triangle ABC = \triangle DBC$

PROOF · 정리 2의 증명

$\ell \parallel \overline{BC}$이고 $A, D$가 $\ell$ 위에 있을 때 $\triangle ABC = \triangle DBC$임을 보이라.

$A$에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 길이를 $h_1$, $D$에서 내린 수선의 길이를 $h_2$라 하자.
$A, D$가 모두 $\ell$ 위에 있고 $\ell \parallel \overline{BC}$이므로 평행선 사이의 거리에 의해 $h_1 = h_2$ (같음).
두 삼각형의 넓이: $\triangle ABC = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot h_1$, $\triangle DBC = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot h_2$.
$h_1 = h_2$이고 밑변 $\overline{BC}$도 같으므로 $\triangle ABC = \triangle DBC$. Q.E.D.

APPLICATION · 응용

밑변의 비 = 넓이의 비

같은 꼭짓점에서 본 두 삼각형이 같은 직선 위의 두 밑변을 가질 때, 그 두 삼각형은 높이가 같다. 따라서 넓이의 비는 밑변의 비와 같다.

$\triangle ABP : \triangle APC = \overline{BP} : \overline{PC}$
(점 $P$가 변 $\overline{BC}$ 위에 있을 때)

$\overline{BP} : \overline{PC}$의 비가 $\triangle ABP : \triangle APC$의 비.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on parallels and area.

Q · 01

두 평행선 사이의 거리는 어디서나?

풀이: 평행선 사이의 거리는 일정하다.

Q · 02

같은 밑변, 같은 높이의 두 삼각형의 넓이는?

풀이: 넓이 = $\dfrac{1}{2}$ × 밑변 × 높이. 둘 다 같으면 넓이도 같다.

Q · 03

$\triangle ABC$의 넓이가 $24$이고 점 $D$가 $\overline{BC}$와 평행한 직선 위(직선 $\overline{AD}$가 $\overline{BC}$와 평행) 위에 있다. $\triangle DBC$의 넓이는?

풀이: 공통 밑변 $\overline{BC}$, 꼭짓점 $A, D$가 같은 평행선 위 → 같은 높이 → 같은 넓이 = $24$.

Q · 04

$\triangle ABC$에서 점 $P$가 $\overline{BC}$ 위에 있고 $\overline{BP} : \overline{PC} = 3 : 2$. $\triangle ABP : \triangle APC$의 넓이비는?

풀이: 공통 꼭짓점 $A$ → 같은 높이. 넓이비 = 밑변비 = $\overline{BP} : \overline{PC} = 3:2$.

Q · 05

$\triangle ABC$의 넓이가 $30$이다. $\overline{BC}$의 중점을 $M$이라 할 때 $\triangle ABM$의 넓이는?

풀이: $M$이 $\overline{BC}$의 중점이므로 $\overline{BM} = \dfrac{\overline{BC}}{2}$. 공통 꼭짓점 $A$, 밑변 절반 → 넓이도 절반 = $15$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying parallel-area theorems.

EXAMPLE · 01

사다리꼴 $\Box ABCD$에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$이다. $\triangle ABC$와 $\triangle DBC$의 넓이 관계를 설명하라.

핵심: 공통 밑변과 평행선 위의 꼭짓점.

STEP 1 · 공통 밑변 식별

두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle DBC$는 같은 변 $\overline{BC}$를 밑변으로 공유한다.

STEP 2 · 꼭짓점의 위치

꼭짓점 $A$와 $D$는 모두 직선 $\overline{AD}$ 위에 있고, $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.

STEP 3 · 결론

두 꼭짓점이 $\overline{BC}$와 평행한 직선 위에 있으므로 평행선 사이의 거리(즉 두 삼각형의 높이)가 같다. 같은 밑변·같은 높이 → 같은 넓이.

답: $\triangle ABC = \triangle DBC$

EXAMPLE · 02

평행사변형 $\Box ABCD$를 대각선 $\overline{BD}$가 두 삼각형으로 나누었다. $\triangle ABD$의 넓이가 $20$일 때 평행사변형 $\Box ABCD$의 넓이는?

핵심: 평행사변형은 대각선에 의해 두 합동 삼각형으로 나뉜다.

STEP 1 · 합동 확인

2.1에서 증명했듯, 대각선 $\overline{BD}$가 평행사변형을 나눈 두 삼각형 $\triangle ABD$와 $\triangle CDB$는 합동(ASA).

STEP 2 · 같은 넓이

합동이므로 $\triangle ABD = \triangle CDB$. 따라서 $\triangle CDB = 20$.

STEP 3 · 평행사변형 넓이

평행사변형 = $\triangle ABD + \triangle CDB = 20 + 20 = 40$.

답: $40$

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

두 평행선 사이의 거리는 어디서나 어떤 관계인가?

힌트: 평행선 정의에서.

P · 02★

같은 밑변과 같은 높이를 가진 두 삼각형의 넓이는?

힌트: 넓이 = (1/2) × 밑변 × 높이.

P · 03★

$\triangle ABC$의 넓이가 $24$이고 점 $D$가 $\overline{BC}$와 평행한 직선 위에 있을 때 $\triangle DBC$의 넓이는?

힌트: 같은 밑변·같은 높이 → 같은 넓이.

P · 04★★

$\triangle ABC$에서 점 $P$가 $\overline{BC}$ 위에 있고 $\overline{BP}:\overline{PC} = 3:2$이다. $\triangle ABP : \triangle APC$의 넓이비는? (예: 3:2)

힌트: 공통 꼭짓점 $A$. 같은 높이 → 넓이비 = 밑변비.

P · 05★★

$\triangle ABC$의 넓이가 $30$이다. $\overline{BC}$의 중점을 $M$이라 할 때 $\triangle ABM$의 넓이는?

힌트: 중점 → 밑변 절반 → 넓이 절반.

P · 06★★

사다리꼴 $\Box ABCD$에서 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$이다. $\triangle ABD$와 $\triangle ACD$의 넓이 관계는?

힌트: 공통 밑변 $\overline{AD}$. 꼭짓점 $B, C$가 평행선 $\overline{BC}$ 위.

P · 07★★★

평행사변형 $\Box ABCD$를 대각선 $\overline{BD}$가 두 삼각형으로 나누었다. $\triangle ABD$의 넓이가 $20$일 때 평행사변형 $\Box ABCD$의 넓이는?

힌트: 평행사변형은 대각선으로 두 합동 삼각형으로 나뉜다.

P · 08★★★

$\triangle ABC$에서 변 $\overline{AB}$ 위의 점 $D$가 $\overline{AD} : \overline{DB} = 1:2$이고, 변 $\overline{AC}$ 위의 점 $E$가 $\overline{AE} : \overline{EC} = 1:1$이다. $\triangle ADE : \triangle ABC$의 넓이비는? (예: 1:6)

힌트: $\dfrac{\triangle ABE}{\triangle ABC} = \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AC}} = \dfrac{1}{2}$. $\dfrac{\triangle ADE}{\triangle ABE} = \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \dfrac{1}{3}$. 곱하면 $\dfrac{1}{6}$.

평행선과 넓이